Szachowe szlify zdobywał w rodzinnym Lwowie, gdzie mieszkał do 1945 roku. Po zakończeniu II wojny światowej przeprowadził się do Krakowa. W 1946 roku zadebiutował w pierwszych powojennych mistrzostwach Polski w Sopocie, gdzie podzielił siódme miejsce. Od tego czasu dwunastokrotnie awansował do finałów mistrzostw kraju. W 1961 roku w Katowicach zajął pierwsze miejsce, o pół punktu przed Bogdanem Śliwą, zdobywając jedyny w swoim dorobku tytuł mistrza Polski. Czterokrotnie uczestniczył w olimpiadach szachowych, w latach 1952 i 1958–1962, zdobywając 29½ pkt w 56 partiach (ogólny wyniki procentowy 52,7%). Brał udział w ośmiu turniejach i dwudziestu meczach międzynarodowych.

Tarnowski był cenionym trenerem i teoretykiem. Jako jeden z nielicznych w tym czasie polskich szachistów publikował prace z zakresu teorii otwarć. Z jego analiz wariantu Najdorfa obrony sycylijskiej korzystał sam Najdorf. Był uznanym znawcą partii hiszpańskiej i obrony słowiańskiej, a także obrony półsłowiańskiej, w której w 1950 roku w pokonał arcymistrza Marka Tajmanowa.

Lokalizacja: kwatera FD rząd 10 miejsce 2